Insiemistica

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January 29, 2023

La teoria degli insiemi (Teoria degli insiemi) è una teoria matematica che si occupa di oggetti matematici chiamati insiemi. Di solito, si considera che un "insieme" rappresenti un insieme di vari oggetti matematici. Abbraccia la nozione di una collezione di cose nel senso quotidiano, i loro elementi e se una cosa particolare è inclusa o meno. Nella formulazione della matematica moderna, la teoria degli insiemi fornisce parole che descrivono vari oggetti matematici. La teoria degli insiemi fornisce la base assiomatica della matematica e rende possibile la costruzione formale di oggetti matematici per "insiemi" e "attribuzioni". Inoltre, la ricerca sull'insieme stesso, come ad esempio che tipo di sistema può essere ottenuto assumendo quello che è l'assioma della teoria degli insiemi, è attivamente condotta. Le operazioni di base nella teoria degli insiemi includono l'assunzione di un insieme di potenze o di un insieme di prodotti cartesiani di un determinato insieme. Inoltre, concetti come le relazioni d'ordine e le mappature definite attraverso la relazione tra gli elementi di due insiemi giocano un ruolo importante nella classificazione degli insiemi. La teoria degli insiemi afferma che la cardinalità è uguale quando c'è una biiezione tra due insiemi. Pertanto, ogni classe di equivalenza che classifica l'insieme secondo l'uguaglianza di concentrazione è chiamata concentrazione. In questa definizione, la concentrazione è nella vera classe, quindi è difficile trattare la concentrazione stessa come un oggetto di teoria degli insiemi. Assumendo l'assioma della scelta, ne deriva che qualsiasi insieme può essere allineato. Se definiamo il tipo di ordine di un insieme ben ordinato come ogni classe di equivalenza categorizzata dall'isomorfismo d'ordine, diventa una vera classe. Fortunatamente, qualsiasi insieme ben ordinato è isomorfo ordinale a un insieme speciale chiamato ordinale. Pertanto, questi numeri ordinali possono essere definiti come il tipo ordinale di insiemi ben ordinati. Anche l'intero numero ordinale oh n {\ displaystyle \ mathrm {On}} Sono anche ordinati e ordinati. La concentrazione del set | UN | min { α ? oh n ? ? R ( ( UN , R ) ? ( α , ? ) ) } {\ displaystyle | A | \ min \ {\ alpha \ in \ mathrm {On} \ mid \ esiste R ((A, R) \ cong (\ alpha, \ in)) \}} Può essere definito come. Cioè, la concentrazione è definita come un numero ordinale speciale. Ciò consente di espellere la vera classe dalla definizione di concentrazione. Tuttavia, la concentrazione può essere definita e gestita senza assumere l'assioma della scelta. L'idea di base è quella di estrarre solo quelli con il minor numero di piani nel senso di gerarchia cumulativa da ciascuna classe di equivalenza classificata per concentrazione. Vedi il trucco di Scott per i dettagli.

Teoria degli insiemi ingenua e teoria degli insiemi assiomatica

Nelle prime fasi della teoria degli insiemi, gli insiemi furono introdotti e considerati come un insieme di cose "nel senso ordinario". Questa visione è ora chiamata teoria degli insiemi ingenua. Questo è il modo più semplice per capire un insieme, ma quando un insieme di cose "nel senso ordinario" è formulato dal seguente assioma intensionale, appare un paradosso. Qualsiasi proprietà P ( X ) {\ stile di visualizzazione P (x)} Contro P ( X ) {\ stile di visualizzazione P (x)} Fonte da incontrare X {\ stile di visualizzazione x} set di { X