Analisi super accurata

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January 29, 2023

La storia del calcolo è filosoficamente controversa sul significato e sulla validità logica del metodo del flusso o decimale infinito. La soluzione standard a queste controversie è definire l'operazione nel calcolo mediante la teoria epsilon-delta piuttosto che infinitesimale. L'analisi non standard invece formula il calcolo utilizzando il concetto di decimali infiniti logicamente rigidi. L'analisi non standard diventa analisi non standard quando viene tradotta direttamente, ma è stata chiamata come tale perché Masahiko Saito ha iniziato a utilizzare la traduzione dell'analisi non standard. Il termine analisi infinitesimale può anche significare analisi non standard. L'analisi non standard è stata fondata dal matematico Abraham Robinson negli anni '60. Lui scrive: [...] Il concetto di quantità infinitesime o infinitesime sembra fare appello alla nostra intuizione in modo naturale. In ogni caso, l'uso dell'infinitesimo si diffuse negli albori del calcolo differenziale e della scienza infinitesimale. In contrasto con l'obiezione che la differenza tra due diversi numeri reali non può essere infinitamente piccola, Gottfried Leibniz afferma che la teoria dell'infinitesimo è un numero ideale, è infinitamente piccolo rispetto ai numeri reali, sostenendo che implica l'introduzione di quest'ultimo , che può essere infinitamente grande, ma ha le stesse proprietà di quest'ultimo. Robinson afferma che questo principio di continuità di Leibniz è un precursore del principio di trasferimento. Robinson continua: Tuttavia, né lui né i suoi discepoli e successori hanno fatto progressi ragionevoli che portano a un tale sistema. Di conseguenza, la teoria dell'infinitesimo perse gradualmente la sua reputazione e alla fine fu sostituita dalla teoria classica del limite. Robinson continua dicendo: In questo libro, le idee di Leibniz sono perfettamente giustificate e portano a un approccio nuovo e fruttuoso all'analisi classica ea molte altre suddivisioni matematiche. La chiave del nostro metodo viene dall'analisi dettagliata della relazione tra il linguaggio della matematica e la sua struttura matematica, che sta alla base della moderna teoria dei modelli. Nel 1973, l'intuizionista Arend Heyting ha elogiato l'analisi non standard come un "modello standard per importanti ricerche matematiche".

Introduzione

Campo ordinato F {\ displaystyle \ mathbb {F}} L'elemento diverso da zero di è infinitesimo significa che il suo valore assoluto lo è 1 n {\ displaystyle {\ frac {1} {n}}} ((( n {\ displaystyle n} è un numero naturale standard) F {\ displaystyle \ mathbb {F}} Significa che è più piccolo dell'originale. I campi ordinati con infinitesimo si dicono non di Archimede. Più in generale, l'analisi non standard si riferisce a tutte le forme di matematica basate su modelli non standard e principi di trasferimento. Un campo che soddisfa il principio di trasferimento rispetto a un numero reale è chiamato campo di numero iperreale e l'analisi non standard utilizza tale campo come modello iperreale di un numero reale. L'approccio di Robinson si basa su modelli non standard di quei numeri reali. Il suo libro classico e basilare su questo argomento, Analisi non standard, è stato pubblicato nel 1966 ed è ancora in vendita oggi. A pagina 88, Robinson scrive: L'esistenza di modelli aritmetici non standard è Thoralf Skolem (