Numero iperreale

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January 29, 2023

Un sistema di numeri chiamato numeri iperreali (numeri iperreali) o reali non standard (reali non standard) è uno dei modi per gestire numeri infinitesimi e numeri infinitesimi. L'intero numero iperreale * R è un campo di estensione del campo dei numeri reali R, 1 + 1 + ⋯ + 1 {\ displaystyle 1 + 1 + \ cdots +1} Contiene elementi più grandi di qualsiasi numero che può essere scritto sotto forma di. Tali numeri sono infiniti e i loro reciproci sono infinitesimi. La parola "iper-reale" è stata introdotta da Edwin Hewitt nel 1948. I numeri iperreali soddisfano il principio di trasferimento (che rigorizza la legge empirica di continuità di Leibniz). Questo principio di trasferimento sostiene che la vera affermazione della logica del predicato del primo ordine per R vale anche per * R. Ad esempio, la legge commutativa dell'addizione x + y y + x vale per i numeri iperreali, proprio come per i numeri reali. Inoltre, ad esempio, R è un vero campo chiuso, quindi * R è anche un vero campo chiuso. Inoltre, poiché sin (πn) 0 vale per ogni intero n, sin (πH) 0 vale per ogni iperintero H. Il principio di transizione alla super-esponenziazione è la conseguenza del teorema di Wash del 1955. L'interesse per la solidità del ragionamento, anche infinitesimale, risale all'antica matematica greca, dove Archimede esauriva tali dimostrazioni e le sostituiva con altri metodi come il metodo. Negli anni '60 Robinson dimostrò che i numeri iperreali sono logicamente coerenti e i numeri reali sono logicamente coerenti. Ciò dimostra che, se non manipolata secondo le regole logiche disegnate da Robinson, la dimostrazione contenente qualsiasi infinitesimo rimane malsana. L'applicazione dei numeri iperreali, in particolare del principio di trasferimento ai problemi in analisi, è chiamata analisi non standard. Un esempio è definire direttamente concetti analitici di base come derivati ​​e integrali, evitando la complessità logica dell'utilizzo di quantificatori multipli. Cioè, la derivata di f (x) è F ′ ((( X ) S T ((( F ((( X + Δ X ) - F ((( X ) Δ X ) {\ displaystyle f'(x) {\ rm {st}} \ sinistra ({\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x}} \ destra)} diventare. Tuttavia, Δx è un numero iperreale infinitesimo e st (・) è una funzione da un numero iperreale finito a un numero reale, ed è una funzione di parte standard chiamata "una funzione per un numero iperreale finito e un singolo numero reale vicino all'infinito ". L'integrale è similmente definito dalla parte standard appropriata della somma infinita.

Principio di transizione

L'idea di un sistema iperreale è estendere l'insieme R dei numeri reali e costruire un sistema *R contenente infinitesimi e infiniti senza modificare gli assiomi di base dell'algebra. Qualsiasi affermazione nella forma "per qualsiasi numero x" è vera per i numeri iperreali se è vera per i numeri reali. Ad esempio, si applica anche all'assioma "x + 0 x per qualsiasi numero x". Lo stesso vale per la quantificazione di più variabili, come "per qualsiasi numero x, y, xy yx". Si dice che questa "affermazione per il campo del numero reale può essere trasferita al campo del numero iperreale".