Valore assoluto
In matematica, il valore assoluto di un numero reale x (valore assoluto) o parametro (modulo) | x | è un valore non negativo ottenuto ignorando il suo segno. Cioè | x | x per un numero positivo x e | x | −x per un numero negativo x (dove −x è positivo), e | 0 | 0. Ad esempio, il valore assoluto di 3 è 3 e anche il valore assoluto di -3 è 3. Il valore assoluto di un numero può essere pensato come la distanza da zero di quel numero.
Il concetto di generalizzare il valore assoluto di un numero reale nasce in matematica in un'ampia varietà di impostazioni. Ad esempio, è possibile definire valori assoluti anche per numeri complessi, quaternioni, anelli ordinati, campi e così via. Concetti come grandezza, distanza e norma in vari contesti matematici o fisici sono strettamente correlati ai valori assoluti.
Terminologia e notazione
Il termine modulo, introdotto da Jean-Robert Arghan nel 1806, è la parola francese per "unità di misura", specialmente per il valore assoluto dei numeri complessi. Fu anche preso in prestito e tradotto in inglese nel 1866 come corrispondente modulo latino. Il valore assoluto è stato utilizzato in questa sezione almeno in francese nel 1806 e in inglese nel 1857. La notazione | x | con barre verticali su entrambi i lati è stata introdotta da Karl Viastras nel 1841. Altri nomi per valori assoluti includono valore numerico e grandezza. Nei linguaggi di programmazione e nei software per computer, è comune esprimere il valore assoluto di x in una notazione di funzione come abs (x).
La notazione a barre verticali viene utilizzata anche in molti altri contesti matematici (ad esempio, un insieme è racchiuso in barre verticali per indicare la concentrazione dell'insieme e una matrice viene utilizzata per rappresentare il determinante). Pertanto, per determinare se una colonna deve rappresentare un valore assoluto, se il suo argomento è un oggetto algebrico che definisce il concetto di valore assoluto (ad esempio, una divisione normata come un numero reale, un numero complesso o un quaternione) Occorre prestare attenzione a. Le norme euclidee e le norme del limite superiore per i vettori di Rn sono esempi dell'uso della notazione a barre verticali per non concetti che sono molto simili ai valori assoluti, ma queste sono notazioni che utilizzano doppie barre verticali e pedici (è più comune e meno confuso utilizzare rispettivamente • • 2 e • • ∞.
Definizione
Il valore assoluto del numero reale x è "il numero reale meno il segno": o "distanza da 0":
Dato come. Per i numeri reali, queste due condizioni sono equivalenti tra loro.
Natura
Come proprietà di base, per ogni numero reale a, b
Non negativo: | a | ≥ 0.
Non degenere: | a | 0. Quando a 0 e solo allora.
Uniformità: | −a | | a |.
Subadditività: | a + b | ≤ | a | + | b |. E così via.
Questo corrisponde alla proprietà che soddisfa la funzione metrica (vedi sotto).
ancora,
Idempotenza: | | a | | | a |.
Moltiplicatività: | ab | | a | ⋅ | b |.
Per quanto riguarda il valore assoluto dei numeri reali
|
un
|
?
b b
?
−
b b
?
un
?
b b
{\ displaystyle | a | \ leq b \ iff -b \ leq a \ leq b}
|
un
|
≥
b b
?
un
?
−
b b
?
b b
?
un
{\ displaystyle | a | \ geq b \ iff a \ leq -b \ lor b \ leq a}
È utile per trattare le disuguaglianze che coinvolgono valori assoluti.
Per esempio.
