Curva di riempimento dello spazio

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January 29, 2023

In analisi, una curva che riempie lo spazio è una curva il cui intervallo di valori include l'intero quadrato unitario bidimensionale (o più in generale l'ipercubo unitario n-dimensionale). La curva di riempimento dello spazio in un piano bidimensionale è talvolta chiamata curva di Peano perché Giuseppe Peano ne ha scoperto per primo una, ma il nome si riferisce anche a un esempio di una particolare curva di riempimento dello spazio scoperta da Peano.

Definizione

Intuitivamente, una curva continua in due o tre dimensioni (o dimensioni superiori) può essere pensata come un luogo di punti in continuo movimento. Per dissipare l'ambiguità inerente a questa idea, Jordan ha introdotto la seguente definizione rigorosa nel 1887, che da allora è stata adottata come una descrizione accurata del concetto di curve continue: Una curva (con estremi) è una mappa continua il cui dominio è l'intervallo unitario [0, 1]. Nella forma più comune, l'intervallo di valori di tale mappa può essere qualsiasi spazio delle fasi, ma nella più studiata, l'intervallo di valori è in un piano bidimensionale (quindi una curva piana) o in uno spazio tridimensionale (curva spaziale ) Incluso in un tale spazio euclideo. La curva può essere equiparata all'immagine della mappa (l'insieme di tutti i valori presi dalla mappa) piuttosto che alla mappa stessa. Una curva senza punti finali può essere definita anche come una mappa continua su una linea reale (o intervallo unitario (0, 1)).

Storia

Nel 1890, Peano scoprì una curva continua attraverso tutti i punti del quadrato unitario, ora chiamata curva di Peano. Il suo scopo era quello di costruire una mappa continua dall'intervallo unitario al quadrato unitario. Peano è stato motivato dal precedente risultato anti-intuitivo di Georg Cantor che un numero infinito di punti in un intervallo unitario ha la stessa concentrazione di un numero infinito di punti in qualsiasi varietà finita-dimensionale, come un quadrato unitario. .. La domanda che Peano risolse era se tali mappature potessero essere continue, cioè se ci fosse una curva che riempisse lo spazio. La soluzione di Peano non è una corrispondenza biunivoca continua tra intervalli unitari e quadrati unitari, e infatti non esiste tale corrispondenza (vedi sotto). Era comune associare una curva alla vaga nozione di "spessore" e unidimensionalità. Tutte le curve normalmente incontrate erano differenziabili a tratti (cioè hanno differenziazione continua a tratti), ma tali curve non possono riempire l'intero quadrato unitario. Pertanto, la curva di riempimento dello spazio di Peano era molto controintuitiva. Dall'esempio di Peano, è stato facile creare una curva continua con un intervallo contenente un ipercubo n-dimensionale (n è un numero intero positivo arbitrario). È stato anche facile estendere l'esempio di Peano a una curva continua senza punti finali e riempire l'intero spazio euclideo n-dimensionale (n è 2 o 3 o qualsiasi altro numero intero positivo). Le curve di riempimento dello spazio più note sono costruite iterativamente come un limite che approssima il limite che riempie sempre più spazio in una sequenza di curve continue a tratti. L'innovativo trattato di Peano non includeva alcuna figura della sua composizione ed era definito utilizzando operatori ternari di espansione e riflessione. Ma la composizione pittorica gli era del tutto chiara: la sua casa di Torino era dotata di piastrelle decorative che mostravano dipinti curvi. Il trattato di Peano conclude anche affermando che il metodo può chiaramente estendersi a basi dispari diverse da tre. La sua scelta di evitare il ricorso alla visualizzazione grafica è stata indubbiamente motivata dal desiderio di una prova probatoria solida e del tutto rigorosa, completamente indipendente dal diagramma. A quel tempo (all'inizio della fondazione della fase generale), la discussione grafica era ancora inclusa nella dimostrazione.