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January 29, 2023

In matematica, un insieme è finito (Yugen, inglese: finito) significa che esiste una biiezione tra l'insieme e l'insieme espresso nella forma {1, 2, ..., n} utilizzando il numero naturale n.(Tuttavia, qui è ammesso anche il caso n 0. In questo caso significa che è un insieme vuoto, e anche questo è considerato una specie di insieme finito). Un tale insieme è chiamato insieme finito (inglese: insieme finito), e un insieme non finito è chiamato insieme infinito. Allo stesso modo, un insieme finito significa che la sua cardinalità (numero originale) è un numero naturale. In particolare, gli insiemi con cardinalità n sono indicati collettivamente come "insiemi di n elementi (n-insieme)". Ad esempio, l'insieme degli interi da -15 a 3 (escluse entrambe le estremità) ha 17 elementi ed è finito. Pertanto, questo è un insieme di 17 elementi. D'altra parte, l'insieme di tutti i numeri primi è ? 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}} È un insieme infinito con la cardinalità di. Un insieme in cui non c'è biiezione con nessun vero sottoinsieme è chiamato insieme finito di Dedekind. Se vale l'assioma della scelta (forma debole dell'assioma della scelta), allora l'insieme finito e il finito di Dedekind sono equivalenti. Altrimenti (stranamente) ci può essere un insieme infinito e finito di Dedekind (vedi sezione "Problemi Fondamentali"). Tutti gli insiemi numerabili sono numerabili, ma non tutti gli insiemi numerabili sono finiti. Tuttavia, alcuni libri usano "numerabile" per indicare "infinito numerabile", nel qual caso un insieme finito non è numerabile.

Costruzione dell'insieme finito

Qualunque sia l'elemento x, y, un insieme come {}, {x}, {x, y} è un insieme finito. L'unione di un numero finito di insiemi finiti ridiventa un insieme finito. Anche l'insieme delle potenze di un insieme finito è un insieme finito. Qualsiasi sottoinsieme di un insieme finito è finito. L'intervallo di una funzione il cui dominio è un insieme finito è finito. Anche i prodotti cartesiani costituiti da un numero finito di insiemi finiti sono finiti. D'altra parte, l'insieme di tutti i numeri naturali (la cui esistenza è garantita dall'assioma dell'infinito) non è un insieme finito.

Condizione necessaria e sufficiente di finitezza

Nella teoria degli insiemi di Zermelo-Frenkel (ZF), le seguenti condizioni sono tutte equivalenti. S è un insieme finito. Cioè, l'elemento di S ha una corrispondenza biunivoca con l'elemento dell'insieme dei numeri naturali minore di uno specifico numero naturale. S ha tutti gli attributi che possono essere dimostrati per induzione matematica, partendo dall'insieme vuoto e aggiungendo gli elementi uno per uno. (Kazimierz Kuratowski) C'è un ordine totale in S e l'ordine totale è ben ordinato in entrambe le direzioni. Cioè, ogni sottoinsieme non vuoto di S (in un ordine totale) ha un elemento minimo e un elemento massimo. La funzione biunivoca da P (P (S)) a se stessa è biunivoca. Cioè, l'insieme di potenze dell'insieme di potenze di S è Dedekind-finito. Tutte le funzioni suriettive da P (P (S)) a se stesso hanno una corrispondenza biunivoca. Tutte le famiglie non vuote di sottoinsiemi di S hanno elementi minimi inclusivi. (Alfred Tarski) C'è un buon ordine su S e due qualsiasi buon ordine su S sono isomorfi. In altre parole, la S ben ordinata ha un solo tipo di ordine. Se vale anche l'assioma della scelta, le seguenti condizioni sono tutte equivalenti. S è un insieme finito. La funzione biunivoca da S a se stessa è biunivoca. (Richard Dedekind) Da S a se stesso