Numero reale allargato
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In matematica, i numeri reali estesi o più precisamente i numeri reali estesi affiliati sono 2 di infinito positivo + ∞ e infinito negativo −∞ ai numeri reali ordinari.È un sistema che aggiunge uno.
Gli elementi appena aggiunti (infinito, punto all'infinito) non sono numeri reali (normali), ma a seconda del contesto, tutti i numeri reali estesi inclusi questi possono essere indicati come "numeri reali" per comodità. In questo caso, i numeri reali ordinari sono detti numeri reali finiti per distinguerli.
Il concetto di numeri reali estesi è utile nel calcolo e nell'analisi (soprattutto teoria della misura e metodi integrali) per semplificare la descrizione dei limiti di varie funzioni. (Affine) L'insieme R ∪ {± ∞} di tutti i numeri reali estesi è chiamato retta reale estesa perché ha una struttura ordinata appropriata e una struttura topologica su di essa. Si scrivono R e [−∞, + ∞].
Quando il contesto lo rende chiaro, il segno di infinito positivo + ∞ è spesso scritto semplicemente come ∞.
Significato
Estremo
Nella funzione f, capita spesso di voler descrivere il comportamento quando l'argomento x e il valore della funzione f (x) diventano "molto grandi" in un certo senso. Ad esempio, una funzione
F
(((
x x
)
x x
-
2
{\ stile di visualizzazione f (x) x ^ {-2}}
Detto questo, il grafico ha g (x) 0 sull'asintoto orizzontale. Geometricamente, se segui l'asse x a destra, il valore di 1 / x2 si avvicina a 0. Questo comportamento estremo è lo stesso del limite di una funzione quando x si avvicina a un numero reale, tranne per il fatto che non esiste un numero reale a cui x si avvicina.
Se aggiungiamo due elementi + ∞ e −∞ all'insieme R dei numeri reali, possiamo formulare il "limite all'infinito" con le stesse proprietà topologiche di R.
Per rendere le cose completamente esatte, nella definizione di R da una successione di Cauchy razionale, come insieme di tutte le successioni di Cauchy razionali tali che un termine con un numero sufficientemente grande per ogni K> 0 può prendere più di K. Dovremmo definire + ∞ e −∞ allo stesso modo.
Teoria della misura e integrale
Nella teoria delle misure, è spesso utile consentire l'esistenza di un insieme di misure infinite o di un integrale il cui valore è infinito.
Tali misure appaiono anche naturalmente nel calcolo. Ad esempio, se consideriamo una misura in R in cui la misura in ciascun intervallo corrisponde alla lunghezza normale dell'intervallo, allora la misura nell'intero spazio R deve essere maggiore di qualsiasi numero reale finito. O ancora
∫
1
∞
D
x x
x x
{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x}}}
Quando si considera un integrale infinito come, il valore diventa "infinito". Altro,
F
n
(((
x x
)
{
2
n
(((
1
-
n
x x
)
,,
se se
0
≤
