Numero reale allargato

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January 29, 2023

In matematica, i numeri reali estesi o più precisamente i numeri reali estesi affiliati sono 2 di infinito positivo + ∞ e infinito negativo −∞ ai numeri reali ordinari.È un sistema che aggiunge uno. Gli elementi appena aggiunti (infinito, punto all'infinito) non sono numeri reali (normali), ma a seconda del contesto, tutti i numeri reali estesi inclusi questi possono essere indicati come "numeri reali" per comodità. In questo caso, i numeri reali ordinari sono detti numeri reali finiti per distinguerli. Il concetto di numeri reali estesi è utile nel calcolo e nell'analisi (soprattutto teoria della misura e metodi integrali) per semplificare la descrizione dei limiti di varie funzioni. (Affine) L'insieme R ∪ {± ∞} di tutti i numeri reali estesi è chiamato retta reale estesa perché ha una struttura ordinata appropriata e una struttura topologica su di essa. Si scrivono R e [−∞, + ∞]. Quando il contesto lo rende chiaro, il segno di infinito positivo + ∞ è spesso scritto semplicemente come ∞.

Significato

Estremo

Nella funzione f, capita spesso di voler descrivere il comportamento quando l'argomento x e il valore della funzione f (x) diventano "molto grandi" in un certo senso. Ad esempio, una funzione F ((( x x ) x x - 2 {\ stile di visualizzazione f (x) x ^ {-2}} Detto questo, il grafico ha g (x) 0 sull'asintoto orizzontale. Geometricamente, se segui l'asse x a destra, il valore di 1 / x2 si avvicina a 0. Questo comportamento estremo è lo stesso del limite di una funzione quando x si avvicina a un numero reale, tranne per il fatto che non esiste un numero reale a cui x si avvicina. Se aggiungiamo due elementi + ∞ e −∞ all'insieme R dei numeri reali, possiamo formulare il "limite all'infinito" con le stesse proprietà topologiche di R. Per rendere le cose completamente esatte, nella definizione di R da una successione di Cauchy razionale, come insieme di tutte le successioni di Cauchy razionali tali che un termine con un numero sufficientemente grande per ogni K> 0 può prendere più di K. Dovremmo definire + ∞ e −∞ allo stesso modo.

Teoria della misura e integrale

Nella teoria delle misure, è spesso utile consentire l'esistenza di un insieme di misure infinite o di un integrale il cui valore è infinito. Tali misure appaiono anche naturalmente nel calcolo. Ad esempio, se consideriamo una misura in R in cui la misura in ciascun intervallo corrisponde alla lunghezza normale dell'intervallo, allora la misura nell'intero spazio R deve essere maggiore di qualsiasi numero reale finito. O ancora ∫ 1 ∞ D x x x x {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x}}} Quando si considera un integrale infinito come, il valore diventa "infinito". Altro, F n ((( x x ) { 2 n ((( 1 - n x x ) ,, se se 0 ≤