Geometria proiettiva

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January 29, 2023

La geometria proiettiva in matematica è lo studio delle proprietà geometriche invarianti sotto trasformazione proiettiva (vedi anche il programma di Erlangen). La geometria proiettiva ha un'impostazione diversa dalla geometria euclidea elementare ed è descritta in base allo spazio proiettivo e ad alcuni concetti geometrici di base. Come intuizione rudimentale, lo spazio proiettivo ha punti "extra" (detti "punti all'infinito") rispetto allo spazio euclideo della stessa dimensione, e nelle trasformazioni geometriche proiettive che punti extra e normali si può ritenere che sia consentito tornare indietro e avanti tra i punti. Varie proprietà utili nella geometria proiettiva sono date in relazione a tali trasformazioni (trasformazioni proiettive). La prima domanda è quale tipo di linguaggio geometrico può descrivere adeguatamente questa situazione geometrica proiettiva. Ad esempio, in geometria proiettiva non si può pensare al concetto di angoli (come si farebbe in geometria euclidea). Infatti, dalle prospettive è chiaro che gli angoli sono uno dei concetti geometrici che non sono invarianti sotto la trasformazione proiettiva, e la teoria di tali prospettive è, infatti, l'origine della geometria proiettiva. Un'altra differenza dalla geometria elementare è l'idea che "linee parallele si intersecano all'infinito". Ciò consente di portare il concetto di geometria elementare nella geometria proiettiva. Ancora una volta, questo è un concetto basato sull'intuizione, come i binari della ferrovia che si intersecano all'orizzonte in una vista prospettica. I contenuti di base della geometria proiettiva in due dimensioni sono riportati nella sezione del piano proiettivo. Questa idea esiste da molto tempo, ma è stata sviluppata principalmente nel XIX secolo come geometria proiettiva. Molte ricerche sono state messe insieme e la geometria proiettiva è diventata il campo più rappresentativo della geometria dell'epoca. La geometria proiettiva qui è una teoria sullo spazio proiettivo complesso in cui ogni componente del sistema di coordinate (sistema di coordinate sequenziale) è un numero complesso. E qualche genealogia matematica più astratta (come la teoria degli invarianti, la scuola italiana di geometria algebrica o il programma Erlangen di Felix Klein che porta allo studio dei gruppi classici) è stata eretta sulla base della geometria proiettiva. Molti ricercatori coinvolti in queste materie sono quelli che appartengono alla geometria sintetica come titolo. Inoltre, esiste la geometria finita come campo di ricerca nato dalla ricerca assiomatica sulla geometria proiettiva. La stessa geometria proiettiva viene ora suddivisa in molti campi di ricerca, e i principali sono la geometria algebrica proiettiva (studio sulla diversità dell'algebra proiettiva) e la geometria differenziale proiettiva (invarianti differenziali legati alla trasformazione proiettiva).

Panoramica

La geometria proiettiva è la geometria di base in cui non è possibile definire la distanza. La geometria proiettiva piana inizia con lo studio dei problemi di configurazione punto-linea. Infatti, nella spiegazione principale della proiezione prospettica di Desarg et al., ci sono alcuni riferimenti geometricamente significativi ad alcune impostazioni che possono essere intese come geometria proiettiva. Negli spazi dimensionali superiori, possiamo pensare a sottospazi lineari come gli iperpiani, che mostrano la dualità. La spiegazione più semplice per questa dualità è la menzione nel piano proiettivo che "due punti diversi definiscono in modo univoco una retta" (la retta passa per i due punti dati) e ".