Insieme calcolabile

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January 29, 2023

Un insieme numerabile (inglese: insieme numerabile o insieme numerabile) o un insieme numerabile è all'incirca un insieme che ha tanti elementi quanti sono tutti i numeri naturali. Ogni elemento può essere numerato 1, 2, 3, ..., cioè può essere espresso come un insieme infinito che può contare tutti gli elementi. Un insieme finito può anche essere considerato come una specie di insieme numerabile, nel senso che è un insieme che può essere contato. Pertanto, quando è necessario fare una chiara distinzione, l'insieme nel senso dell'inizio è chiamato insieme numerabile infinito, e l'insieme infinito numerabile e l'insieme finito sono combinati al massimo numerabili (al massimo numerabili). Un insieme infinito che non è numerabile è chiamato insieme non numerabile. Gli insiemi non numerabili hanno "più" elementi degli insiemi numerabili e non tutti gli elementi possono essere numerati. L'esistenza di un tale insieme è stata mostrata per la prima volta da Cantor.

Definizione

Un insieme numerabile è un insieme la cui cardinalità è uguale a N. Cioè, l'insieme numerabile S significa che c'è una biiezione con l'insieme N di tutti i numeri naturali. Un insieme numerabile è un insieme con una cardinalità N o inferiore. Cioè, il fatto che l'insieme S sia al massimo numerabile significa che esiste una funzione iniettiva da S a N. Ciò equivale all'esistenza di funzioni suriettive da N a S. Per convenzione, la concentrazione di insiemi numerabili ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}} È rappresentato da (alef zero, aleph-null). Ad esempio, che la concentrazione di N è numerabile | N | ℵ 0 {\ displaystyle | \ mathbb {N} | \ aleph _ {0}} E così via.

Esempi e proprietà

In un insieme infinito, la densità può essere uguale al suo vero sottoinsieme. Ad esempio, l'insieme 2N di tutti i numeri naturali pari ha la seguente biiezione tra N e N. f :: N ∋ n ↦ 2 n ∈ 2 N .. {\ displaystyle f \ due punti \ mathbb {N} \ ni n \ mapsto 2n \ in 2 \ mathbb {N}.} Pertanto, 2N è un insieme numerabile. Inoltre, l'insieme Z di tutti gli interi e l'insieme Q di tutti i numeri razionali sono numerabili. Tuttavia, l'insieme R di tutti i numeri reali non è numerabile. Questo fatto è dimostrato dall'argomentazione diagonale di Cantor. La concentrazione di R è chiamata cardinalità del continuo. ℵ {\ displaystyle \ aleph} o c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}} È rappresentato da. Se accettiamo l'assioma della scelta, si mostra che la cardinalità numerabile è la più piccola della cardinalità dell'insieme infinito. La presenza o assenza di altre concentrazioni tra la concentrazione numerabile e la cardinalità del continuum è indipendente da ZFC e di solito si presume inesistente. Questa ipotesi è chiamata ipotesi del continuo. Sono numerabili anche un insieme di unione di insiemi numerabili e un insieme di prodotti diretti di un numero finito di insiemi numerabili. Da ciò segue che l'insieme Q di tutti i numeri algebrici è numerabile. Tuttavia, l'insieme prodotto diretto degli insiemi numerabili e l'insieme di potenza degli insiemi numerabili non sono numerabili e le loro densità sono densità continue. La cardinalità di un prodotto cartesiano di insiemi numerabili è una disuguaglianza di cardinalità. 2 ℵ 0