Biiezione

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January 29, 2023

In matematica, una funzione biiettiva (biiezione) è una mappa, che è l'elemento di qualsiasi elemento dell'insieme che è la regione finale della mappa.Una mappa la cui origine è sempre unica nell'insieme che è l'area di definizione di la mappa, cioè una mappa che è iniettiva e biiettiva. Un esempio è la permutazione trattata nella teoria dei gruppi. Il biiettivo è anche chiamato uno-a-uno sulla mappatura o sulla corrispondenza uno-a-uno, ma è fonte di confusione, quindi non lo userò qui. Si dice anche che f è reversibile quando la mappa f è biiettiva.

Definizione

Mappa f: A → B, due condizioni Surjective: f (A) B Iniettivo: per ogni elemento A a1, a2, se f (a1) f (a2) allora a1 a2 tengono insieme, allora la mappa f si dice biettiva. Questo termine deriva da Bourbaki. f: A → B è biunivoca ∀ b b ∈ B ,, ∃ !! un ∈ UN s.t. b b F ((( un ) {\ displaystyle \ forall \ b \ in B, \, \ esiste \! \ a \ in A {\ text {s.t.}} b f (a)} Equivale al fatto che Infatti, se si combinano le definizioni di suriettivo e iniettivo, il quantificatore esistenziale nella definizione di suriettivo ∃ {\ displaystyle \ esiste} L'unico simbolo di esistenza ∃ !! {\ displaystyle \ esiste \!} È facile vedere come sostituirlo con.

Esempio

f: R → (0, ∞); f (x): ex è biiettivo. f: (0, ∞) → R; f (x): log x è biunivoca. f: (−π / 2, π / 2) → R; f (x): tan x è biunivoca.

Esempio di esistenza

Potenza impostata P ((( n ) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ mathbb {N})} C'è una biiezione da R a R. C'è una biiezione tra N, Z, Q, P. Dove P è il numero primo intero. C'è una biiezione tra R e C. Ci sono anche intervalli chiusi [a, b], intervalli semiaperti (a, b], [a, b), intervalli aperti (a, b) per a Proprietà Biiezione ha una mappa inversa. Infatti, se f: A → B è biiettiva, allora per ogni elemento b di B, esiste un tale che f (a) b dalla suriettività di f, ma dall'iniettività di f. Poiché esiste un solo tale a per b, possiamo fare una mappa g: B → A; f (a) ↦ a. Al contrario, poiché la mappatura con la mappatura inversa è limitata alla biiezione, è lo stesso valore che la mappatura è biiettiva e avendo la mappatura inversa. In altre parole, f: A → B è biunivoca e g: B → A esiste. G ∘ F io D UN {\ displaystyle g \ circ f \ mathrm {id} _ {A}} e F ∘ G io D B {\ displaystyle f \ circo g \ mathrm {id} _ {B}} È equivalente. Due mappe f: A → B, g: B → C mappa composita G ∘ F :: UN → C {\ displaystyle g \ circ f \ due punti da A \ a C} Se è biiettiva, f è iniettiva e g è biiettiva. Se si possono combinare due biiezioni, anche la mappa composita è biiettiva. Tutte le unità dell'insieme X