Numero algebrico
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Cos'è un numero algebrico?
È un numero complesso e ha un coefficiente razionale (o lo stesso, ma pagando il denominatore,
È la radice di un polinomio a una variabile diverso da zero (cioè il valore in corrispondenza del quale il valore del polinomio diventa 0) del coefficiente intero). Tutti gli interi e i numeri razionali sono numeri algebrici e anche le radici di tutti gli interi sono numeri algebrici. Alcuni numeri reali e complessi non sono algebrici e tali numeri sono chiamati numeri trascendenti. Ad esempio, ed e sono numeri trascendenti. Quasi tutti i numeri complessi sono trascendentali (# proprietà insiemistica).
Panoramica
Un polinomio il cui coefficiente è un numero razionale per un numero complesso α
F
(
X
)
X
n
+
un
n
−
1
X
n
−
1
+
?
+
un
0
{\ displaystyle f (x) x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}
È presente e α è detto numero algebrico quando f (α) 0.
Se α è un numero razionale
Poiché f (x) x − α ha α come radice, tutti i numeri razionali sono numeri algebrici.
Per i numeri irrazionali, ad esempio
2
{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
i denti
Poiché è la radice di f (x) x2 − 2, è un numero algebrico e persino un numero complesso.
± i, che è la radice di f (x) x2 + 1, è un numero algebrico.
Tuttavia, è noto che tutti i numeri irrazionali non sono numeri algebrici. Ad esempio, il pi greco e la base del logaritmo naturale (numero di Napier) e non possono essere radicati in nessun polinomio di coefficienti razionali diverso da 0.
Definizione
Numero algebrico
Un polinomio il cui coefficiente è un numero razionale per un numero complesso α
F
(
X
)
X
n
+
un
n
−
1
X
n
−
1
+
?
+
un
0
{\ displaystyle f (x) x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}
Quando esiste e f (α) 0, allora si dice che α è un numero algebrico.
Stessa cosa, ma un numero intero
un
n
?
0
,
un
n
−
1
,
?
,
un
0
{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0, a_ {n-1}, \ cdots, a_ {0}}
esiste,
F
(
X
)
un
n
X
n
+
un
n
−
1
X
n
−
1
+
?
+
un
0
,
F
(
α
)
0
{\ displaystyle f (x) a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}, \ f (\ alpha) 0}
Quando è vero, si dice che α è un numero algebrico.
Interi algebrici
Un polinomio coefficiente intero diverso da zero radicato nel numero algebrico α, con l'ordine più alto
