Numero algebrico

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January 29, 2023

Cos'è un numero algebrico? È un numero complesso e ha un coefficiente razionale (o lo stesso, ma pagando il denominatore, È la radice di un polinomio a una variabile diverso da zero (cioè il valore in corrispondenza del quale il valore del polinomio diventa 0) del coefficiente intero). Tutti gli interi e i numeri razionali sono numeri algebrici e anche le radici di tutti gli interi sono numeri algebrici. Alcuni numeri reali e complessi non sono algebrici e tali numeri sono chiamati numeri trascendenti. Ad esempio, ed e sono numeri trascendenti. Quasi tutti i numeri complessi sono trascendentali (# proprietà insiemistica).

Panoramica

Un polinomio il cui coefficiente è un numero razionale per un numero complesso α F ( X ) X n + un n − 1 X n − 1 + ? + un 0 {\ displaystyle f (x) x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}} È presente e α è detto numero algebrico quando f (α) 0. Se α è un numero razionale Poiché f (x) x − α ha α come radice, tutti i numeri razionali sono numeri algebrici. Per i numeri irrazionali, ad esempio 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} i denti Poiché è la radice di f (x) x2 − 2, è un numero algebrico e persino un numero complesso. ± i, che è la radice di f (x) x2 + 1, è un numero algebrico. Tuttavia, è noto che tutti i numeri irrazionali non sono numeri algebrici. Ad esempio, il pi greco e la base del logaritmo naturale (numero di Napier) e non possono essere radicati in nessun polinomio di coefficienti razionali diverso da 0.

Definizione

Numero algebrico

Un polinomio il cui coefficiente è un numero razionale per un numero complesso α F ( X ) X n + un n − 1 X n − 1 + ? + un 0 {\ displaystyle f (x) x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}} Quando esiste e f (α) 0, allora si dice che α è un numero algebrico. Stessa cosa, ma un numero intero un n ? 0 , un n − 1 , ? , un 0 {\ displaystyle a_ {n} \ neq 0, a_ {n-1}, \ cdots, a_ {0}} esiste, F ( X ) un n X n + un n − 1 X n − 1 + ? + un 0 , F ( α ) 0 {\ displaystyle f (x) a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}, \ f (\ alpha) 0} Quando è vero, si dice che α è un numero algebrico.

Interi algebrici

Un polinomio coefficiente intero diverso da zero radicato nel numero algebrico α, con l'ordine più alto