Sfera di Riemann

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January 29, 2023

In matematica, la sfera di Riemann (sfera di Riemann) è un'estensione del piano complesso aggiungendo un punto all'infinito ∞. In questo momento, l'espressione relazionale Può essere configurato per essere significativo, coerente e utile. Prende il nome dal matematico del XIX secolo Bernhard Riemann. Si chiama anche: Si chiama linea proiettiva complessa e si scrive CP1. Si chiama piano complesso esteso. C ^ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {C}}}} Oppure scrivi C ∪ {∞}. In pura algebra, l'intero numero complesso con il punto all'infinito costituisce un sistema numerico noto come numero complesso esteso. L'aritmetica con punto all'infinito non segue tutte le solite regole algebriche e l'intero numero complesso esteso non forma un campo. Tuttavia, la sfera di Riemann si comporta bene geometricamente e anche analiticamente all'infinito, formando una varietà complessa unidimensionale, nota anche come superficie di Riemann. Nell'analisi complessa, la sfera di Riemann gioca un ruolo importante nella sofisticata teoria delle funzioni meromorfiche. La sfera di Riemann appare sempre nella geometria proiettiva e nella geometria algebrica come un esempio fondamentale di varietà complesse, spazi proiettivi e varietà algebriche. La sfera di Riemann è utile anche in altre discipline che si basano sull'analisi e sulla geometria, come la meccanica quantistica e altri campi della fisica.

Numero complesso esteso

I numeri complessi estesi sono costituiti da numeri complessi C e ∞. L'insieme dei numeri complessi estesi può essere scritto come C ∪ {∞} ed è spesso rappresentato dalla lettera C con decorazioni aggiuntive. Per esempio C ^ ^ ,, C ¯¯ ,, o C ∞ .. {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {C}}}, \ quad {\ overline {\ mathbf {C}}}, \ quad {\ text {or}} \ quad \ mathbf {C} _ {\ infty} .} Geometricamente, l'insieme dei numeri complessi estesi è chiamato sfera di Riemann (o piano complesso esteso).

Operazione

L'addizione complessa è per qualsiasi numero complesso z zz + ∞ ∞ {\ displaystyle z + \ infty \ infty} Si estende definendo, per qualsiasi numero complesso diverso da zero z zz ⋅ ∞ ∞ {\ displaystyle z \ cdot \ infty \ infty} E si estende definendo ∞ ⋅ ∞ ∞. Si noti che ∞ + ∞, ∞ – ∞, 0 ⋅ ∞ rimane indefinito. A differenza dei numeri complessi, i numeri complessi estesi non formano un campo. Questo perché ∞ non ​​ha elemento moltiplicativo inverso. Tuttavia, è consuetudine definire la divisione su C ∪ {∞} come segue. Per tutti i numeri complessi diversi da zero z zz / / 0 ∞ e zz / / ∞ 0 ,, {\ displaystyle z / 0 \ infty \ quad {\ text {e}} \ quad z / \ infty 0,} ∞ / 0 ∞ e 0 / ∞ 0. I quozienti 0/0 e ∞ / ∞ rimangono indefiniti.

Funzione razionale

Qualsiasi funzione razionale f (z) g (z) / h (z) (In altre parole, f (z) è il fattore comune del coefficiente complesso z.