Il paradosso di Hilbert

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January 29, 2023

Infinite Hotel Paradox di Hilbert (Hilbert's Infinite Hotel Paradox) è un esperimento mentale che spiega la natura non intuitiva degli insiemi infiniti. Un hotel con un numero infinito di camere può accogliere nuovi ospiti (infinitamente) anche se è "pieno", indicando che la procedura può essere ripetuta all'infinito. È un paradosso (pseudo-paradosso) nel senso che è logicamente e matematicamente corretto, ma controintuitivo. Il paradosso di Hilbert del Grand Hotel e dell'Hilbert's Hotel. Introdotto nel 1924 da David Hilbert nel suo trattato "Über das Unendliche" e diffuso dal libro di George Gamow del 1947 "One, Two, Three... Infinity". Per semplicità, infinito significa infinito numerabile nella seguente descrizione. Tuttavia, assumendo l'assioma della scelta, qualsiasi insieme infinito ha un insieme infinito numerabile come sottoinsieme, quindi anche nel caso dell'infinito non numerabile, l'argomento deve essere leggermente modificato.

Contenuto paradosso

Considera un hotel virtuale che ha un numero infinito di camere ed è "pieno". Quando il numero di camere degli ospiti è limitato, "pieno" e "non può accogliere nuovi ospiti" sono equivalenti (principio della casella), ma non al Mugen Hotel.

Numero limitato di nuovi clienti

Supponiamo che un ospite venga e voglia soggiornare in un hotel. Pertanto, i clienti della Stanza 1 vengono spostati nella Stanza 2, i clienti della Stanza 2 vengono spostati nella Stanza 3 e i clienti della Stanza n vengono spostati nella Stanza (n + 1) (contemporaneamente). Quindi la camera 1 diventa libera e può ospitare un ospite. Ripetendo questa procedura è possibile creare una nuova camera per gli ospiti per un numero finito di persone.

Nuovi clienti infiniti

È inoltre possibile accogliere un numero infinito di nuovi ospiti. Se si spostano gli ospiti dalla stanza 1 alla stanza 2, gli ospiti dalla stanza 2 alla stanza 4 e gli ospiti dalla stanza n alla stanza 2n, tutte le stanze dispari (ce ne sono un numero infinito) verranno rilasciate ai nuovi ospiti.

Un numero infinito di autobus che trasportano ciascuno un numero infinito di passeggeri

In diversi modi è possibile ospitare un gruppo di infiniti autobus, ciascuno dei quali trasporta un numero infinito di passeggeri. La maggior parte dei metodi presuppone che i posti sugli autobus siano numerati (assioma della scelta numerabile). In generale, qualsiasi funzione di coppia può essere utilizzata per risolvere questo problema. In ogni metodo, se il numero del posto del passeggero è n e il numero dell'autobus è c, allora n e c sono due argomenti della funzione di coppia.

Come usare la potenza primaria

Spostare i passeggeri della stanza i nella stanza 2i per liberare le stanze dispari, spostare i passeggeri del gruppo nella cabina 1 nella stanza 3n, i passeggeri del gruppo nella cabina 2 nella stanza 5n, generalmente i passeggeri del gruppo nella cabina c, e la c-th numero primo dispari Come p, puoi stare nella stanza pn. Questo metodo lascia libere alcune stanze (che sia vantaggioso per l'hotel o meno). Nello specifico, tutte le stanze dispari non prime, come 15 e 847, vengono lasciate libere (da qui l'argomentazione rigorosa che questo è uguale o inferiore al numero di stanze inizialmente libere. Indipendentemente, indica che il numero di visitatori è uguale o maggiore del numero di stanze inizialmente libere, e quindi sono uguali, piuttosto che modificare l'algoritmo per adattarlo esattamente. È più facile da mostrare) (questo algoritmo funziona anche se scambi n e c, ma devi sceglierne uno , correggilo e applicalo in modo coerente).

Metodo che utilizza la scomposizione in fattori primi

I passeggeri nel posto s e nell'auto c possono soggiornare nella stanza 2s3c (ho originale)