Dedekind infinito

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January 29, 2023

In matematica, un insieme A è infinito di Dedekind, o un insieme infinito di Dedekind significa che esiste un vero sottoinsieme B di A uguale ad A. Cioè, c'è una biiezione tra A e il vero sottoinsieme B di A. Quando l'insieme A non è Dedekind infinito, si dice Dedekind finito. Dedekind-infinito è la prima definizione di infinito che non usa i numeri naturali. Il sistema di assiomi di Zermelo-Frenkel, escludendo l'assioma della scelta, non è abbastanza forte da dimostrare che qualsiasi insieme finito di Dedekind è finito nel senso che ha un numero finito di elementi. Oltre a Dedekind-infinito, esistono definizioni di insiemi finiti e insiemi infiniti che non utilizzano l'assioma della scelta.

Confronto con la definizione di un insieme infinito ordinario

Un "insieme infinito" nel senso di Dedekind dovrebbe essere paragonato a un insieme infinito nel senso ordinario: Un insieme infinito A significa che per ogni numero naturale n esiste una biiezione tra {0,1,2, ..., n -1} (ordinale limite) e A. Non farlo. L'infinito è un insieme che letteralmente non è finito nel senso che non c'è biiezione. Alla fine del XIX secolo, molti matematici pensavano semplicemente che l'infinito di Dedekind fosse equivalente all'infinito nel suo senso comune. Tuttavia, in realtà, l'equivalenza non può essere dimostrata dal sistema di assiomi di Zermelo-Frenkel (di solito scritto come "ZF") escludendo l'assioma della scelta ("AC"). Può essere dimostrato usando una CA debole e non è richiesta la piena forza. La sua equivalenza può essere dimostrata in modo veramente più debole dell'assioma della scelta numerabile ("CC").

Dedekind infinito in ZF

Le seguenti quattro condizioni sono equivalenti su ZF. In particolare, si noti che queste equivalenze possono essere dimostrate senza l'uso di AC. A è Dedekind infinito. Esiste una funzione da A ad A che è iniettiva ma non suriettiva. Esiste una funzione iniettiva dall'insieme N ad A dei numeri naturali. A ha un sottoinsieme infinito numerabile. Qualsiasi insieme infinito A di Dedekind soddisfa le seguenti condizioni. Esiste una funzione da A ad A che non è iniettiva ma suriettiva. Questo è chiamato "A è dual Dedekind infinito". Se A è l'infinito duale di Dedekind, allora non si può dimostrare (su ZF escludendo AC) che A è l'infinito di Dedekind. Si può dimostrare su ZF che qualsiasi insieme infinito di Dedekind duale soddisfa la seguente condizione (equivalente). Esiste una funzione suriettiva da A all'insieme infinito numerabile. L'insieme di potenze di A è infinito di Dedekind. (Soddisfare questa condizione è talvolta chiamato debolmente Dedekind infinito.) È stato dimostrato in ZF che se il Dedekind debole è infinito, è infinito. ZF mostra anche che l'insieme infinito allineato è infinito di Dedekind.

Storia

La parola Dedekind-infinito prende il nome dal tedesco Richard Dedekind, che per primo ha articolato questa definizione. Va notato che era la prima definizione di "infinito" che non dipendeva dalla definizione dei numeri naturali.

Relazione con l'assioma della scelta

Qualsiasi insieme infinito che può essere allineato è infinito di Dedekind. Poiché AC è equivalente al teorema allineabile che afferma che qualsiasi insieme può essere allineato, è facile derivare da AC che un insieme infinito è un insieme infinito di Dedekind. Tuttavia, l'equivalenza di infinito e Dedekind-infinito è molto più debole di AC. Cioè, questo stesso