Spazio compatto

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January 29, 2023

In matematica, compatto (inglese: compatto, / kəmˈpækt /) è una proprietà dello spazio topologico. R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} È definito astraendo le proprietà che l'insieme chiuso limitato sopra soddisfa. Va notato che in Bourbaki, il compatto a cui si fa riferimento in questa sezione è chiamato semi-compatto (in inglese: quasi-compatto), e il semi-compatto che soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff è chiamato compatto. Per un sottoinsieme Y dello spazio topologico X, quando la chiusura di Y in X è compatta, si dice che Y è relativamente compatto in X.

Panoramica

Due tipi di definizioni equivalenti

Il concetto di compattezza è definito soddisfacendo almeno una (e quindi entrambe) delle due proprietà di equivalenza descritte di seguito. La prima proprietà è la proprietà Bolzano-Weierstrass (contro la famiglia diretta), che è R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} È una forma leggermente estesa della conclusione del teorema di Bolzano-Weierstrass per l'insieme chiuso limitato di. Intuitivamente, questa proprietà significa che il limite della famiglia di punti orientati, che è un concetto di estensione della sequenza di punti, non diverge. Le sottosequenze sullo spazio topologico X e le loro reti concettuali estese possono, al limite, "convergere" o "vibrare" all'interno di X, o "divergere" "fuori" da X. Se X è compatto, o "converge" o "vibra", quindi ogni gruppo diretto dovrebbe avere una sottosequenza convergente, e in senso stretto, con questo fatto.Definisci la compattezza. Si può dire che è uno spazio più "chiuso" di un insieme chiuso nel senso che "non esiste un gruppo diretto divergente al di fuori di X", che è uno spazio compatto. Infatti, nello spazio di Hausdorff, un sottoinsieme compatto è sempre un insieme chiuso È noto per essere. Per questi motivi gli spazi compatti sono talvolta indicati con il prefisso "chiuso", ad esempio i collettori compatti sono detti "collettori chiusi". La seconda proprietà che caratterizza il compatto (come detto sopra, questa è equivalente alla proprietà di Bolzano-Weierstrass) è detta proprietà di Heine-Borel, che è R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} È una proprietà corrispondente alla parte conclusiva del teorema di copertura di Heine-Borel per l'insieme chiuso limitato di. Heine-Borenity è una proprietà molto astratta, quindi lascerò i dettagli a un capitolo successivo, ma quando si dimostra il teorema per uno spazio compatto, utilizzare questa proprietà per evitare l'infinita difficoltà della dimostrazione. Molti libri di testo di livello universitario usano Heine-Borel come definizione di compattezza. Come accennato in precedenza, entrambe le due proprietà che caratterizzano la compattezza R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} È un'estensione della proprietà stabilita nell'insieme chiuso limitato di a uno spazio topologico generale, e in questo senso compatto significa "compatto". R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} È una generalizzazione di "insieme chiuso limitato" (dettagli.