Numero Aleph

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January 29, 2023

Nella teoria degli insiemi, che è alla base della matematica, il numero di Aleph è una sequenza di numeri usata per esprimere la concentrazione (o la grandezza) di un insieme infinito. Il nome deriva dalla prima lettera della lettera ebraica, Aleph (א), che è usata per descriverli. La concentrazione dell'insieme di tutti i numeri naturali è aleph-naught (noto anche come aleph-null o aleph-zero), con la successiva concentrazione più alta che è aleph uno ℵ1, successivo Aleph a ℵ2 e così via. In questo modo, possiamo continuare a definire la concentrazione ℵα, che è un numero di Aleph generale, per tutti i numeri ordinali α, come descritto di seguito. Il concetto risale a Georg Cantor. Ha definito il concetto di concentrazione e ha notato che gli insiemi infiniti hanno concentrazioni diverse. I numeri di Aleph sono diversi dall'infinito (∞), che è spesso visto in algebra e calcolo. I numeri di Aleph misurano la dimensione di un insieme, mentre l'infinito è generalmente un limite non finito su una retta reale (sotto forma di una funzione o sequenza "divergente all'infinito" o "crescente all'infinito"), o definito come il polo di una sequenza reale ampliata.

Alef Nota

ℵ0 è la cardinalità di un insieme di tutti i numeri naturali, che è una radice infinita. Un insieme di tutti i numeri ordinali limite è chiamato ω o ω0 e ha una cardinalità di ℵ0. Una cardinalità di un insieme di ℵ0 è equivalente all'infinito numerabile, cioè c'è una biiezione (corrispondenza uno a uno) con l'insieme di tutti i numeri naturali. Un esempio di un tale insieme è Un insieme di tutti i numeri quadrati, un insieme di tutti i cubi, un insieme di tutte le quarte potenze, ..., Un insieme di tutti i poteri, un insieme di tutti i poteri primi, Un insieme di tutti i numeri pari, un insieme di tutti i numeri dispari, Un insieme di tutti i numeri primi, un insieme di tutti i numeri composti, Un insieme di tutti gli interi, Un insieme di tutti i numeri razionali, Un insieme di tutti i numeri algebrici, Un insieme di tutti i numeri calcolabili, Un insieme di tutti i numeri definibili, Un insieme di tutte le stringhe binarie di lunghezza finita, Un insieme costituito da tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme infinito numerabile dato arbitrariamente. Numeri d'ordine infiniti ω, ω + 1, ω⋅2, ω2, ωω e ε0 (vedi anche numeri Epsilon) possono essere presi da un insieme infinito numerabile. Ad esempio, una colonna con tutti i numeri dispari positivi seguiti da tutti i numeri pari positivi (con ordinale ω⋅2). {1, 3, 5, 7, 9,…, 2, 4, 6, 8, 10,…} è una disposizione dell'insieme (concentrazione ℵ0) di tutti gli interi positivi. Assumendo l'assioma della scelta numerabile, ℵ0 è minore di qualsiasi altra radice infinita.

Aleph Uno

ℵ1 è la cardinalità di un insieme di tutti gli ordinali numerabili, chiamati ω1 o (a volte) Ω. Questo ω1 è esso stesso un ordinale ed è maggiore di tutti i numeri ordinali, ed è quindi un insieme non numerabile. Pertanto, ℵ1 è diverso da ℵ0. La definizione di ℵ1 significa che non c'è radice tra ℵ0 e ℵ1 (in ZF, teoria degli insiemi di Zermelo-Frenkel senza assioma di scelta). Usando l'assioma della scelta (AC), possiamo ulteriormente dimostrare che: La classe della radice è l'ordine totale, quindi ℵ1 è la seconda radice infinita più piccola. AC può essere usata per dimostrare una delle proprietà più utili dell'insieme ω1. Qualsiasi sottoinsieme numerabile di ω1 ha un limite superiore a ω1. (Ciò significa che la somma numerabile degli insiemi numerabili, una delle applicazioni più comuni di AC, è numerabile.