L'ultimo teorema di Fermat
L'ultimo teorema di Fermat (inglese: Fermat's Last Theorem) è uno dei teoremi più famosi della matematica, coniato da Pierre de Fermat nel XVII secolo. Questo teorema dice:
Nel 1637 Fermat scrisse il teorema a margine di una delle pagine del suo libro. Afferma di aver trovato prove della teoria, solo che non può scriverla perché i margini del suo libro non si adattano più. Tuttavia, per i successivi 357 anni, i matematici del mondo non furono in grado di dimostrarlo e questo teorema divenne uno dei più grandi enigmi della matematica. Infine, nel 1994, il matematico britannico Andrew Wiles è riuscito a dimostrare che questo teorema è vero.
Storia
Attivazione di Fermat
Intorno al 1637 Fermat scrisse il teorema a margine di una delle pagine della sua Aritmetica (di Diofanto), che recita:
Tuttavia, non è noto se Fermat abbia effettivamente trovato prove per tutti i ranghi
n
{\ displaystyle n}
. L'unica prova sopravvissuta di Fermat è una prova per
n
4
{\displaystyle n4}
.
Prova di un certo grado
Per i numeri alla potenza di 4
Il caso degli esponenti
4
{\ displaystyle 4}
dimostrato dallo stesso Fermat. Usa la tecnica della discesa infinita per dimostrare che l'equazione
X
4
️
y
4
z
2
{\displaystyle x^{4}-y^{4}z^{2}}
non ha una soluzione primitiva (la soluzione con
X
,
y
,
z
{\ displaystyle x, y, z}
ogni coppia è relativamente primi). Ciò risulta nell'ultimo teorema di Fermat valido per
n
4
{\displaystyle n4}
, a causa dell'equazione
un
4
+
b
4
c
4
{\displaystyle a^{4}+b^{4}c^{4}}
può essere scritto
c
4
️
b
4
(
un
2
)
2
{\displaystyle c^{4}-b^{4}(a^{2})^{2}}
.
Altri esponenti
Dopo che Fermat ha dimostrato il caso
n
4
{\displaystyle n4}
, restando da provare che
n
{\ displaystyle n}
primo dispari. In altre parole, resta da dimostrare che l'equazione
un
n
+
b
n
c
n
{\displaystyle a^{n}+b^{n}c^{n}}
non ha una soluzione unanime
(
un
,
b
,
c
)
{\ displaystyle (a, b, c)}
Se
n
{\ displaystyle n}
numero primo dispari. Questo perché se c'è una soluzione
(
un
,
b
,
c
)
{\ displaystyle (a, b, c)}
per rango
n
{\ displaystyle n}
, allora c'è una soluzione al potere di tutti i fattori positivi
n
