Gruppo di isometria

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August 17, 2022

In matematica, dato uno spazio metrico X, l'insieme di tutte le isometrie biiettive di detto spazio forma un gruppo chiamato gruppo isometrico di X, nell'ambito dell'operazione di composizione della funzione, indicata con Isom(X). Dato un sottoinsieme di X, quale una figura geometrica F, il gruppo di isometria di F è definito analogamente come il sottogruppo di Isom(X) formato dalle isometrie che lasciano invariante il sottoinsieme F. Le isometrie sono trasformazioni che preservano le distanze tra i punti. Cioè, se d(x,y) è la distanza tra i punti x e y nello spazio X, un'isometria di X è una funzione f che soddisfa la condizione d ( F ( X ) , F ( Y ) ) d ( X , Y ) {\ displaystyle d(f(x),f(y))d(x,y)} per ogni coppia di punti arbitrari. La composizione delle isometrie è a sua volta un'isometria. La funzione identità è sempre un'isometria che funge da elemento neutro. Tutte le isometrie biiettive sono invertibili e anche le loro funzioni inverse sono isometrie. Pertanto, formano un tipo di struttura algebrica nota come gruppo. Il gruppo isometrico di uno spazio X è un sottogruppo del gruppo simmetrico di X, che contiene tutte le biiezioni, non solo quelle che preservano la distanza. Alcune isometrie comuni sono traslazioni, rotazioni e riflessioni, e anche loro combinazioni.

Gruppo isometria spaziale euclidea

nello spazio euclideo R n {\ displaystyle \ mathbb {R}