Fatta salva la generalità

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June 25, 2022

Fatta salva la generalità (BÚNO), c'è una svolta costante nella matematica utilizzata principalmente nelle dimostrazioni. Di solito viene utilizzato in situazioni in cui le prove si scompongono in più casi che possono essere dimostrati in modo uguale o simile (ad esempio per simmetria), e l'oratore indica con questa frase che se sceglie e può farlo, può fare tutte le altre e quindi completare l'evidenza nel suo insieme.

Esempio

Il teorema di Bolzano dall'analisi reale dice che se una funzione F ( X ) {\ displaystyle f (x)} è continua su un intervallo chiuso ⟨ e , b ⟩ {\ displaystyle \ angolo a, b \ angolo} e F ( e ) ⋅ F ( b ) < 0 {\ displaystyle f (a) \ cdot f (b) <0} , allora c'è almeno un punto C ∈ ( e , b ) {\ displaystyle c \ in (a, b)} tale che F ( C ) 0 {\ stile di visualizzazione f (c) 0} . Le prove possono iniziare con: DI F ( e ) {\ displaystyle f (a)} · F ( b ) < 0 {\ displaystyle f (b) <0} ne consegue che F ( e ) {\ displaystyle f (a)} e F ( b ) {\ displaystyle f (b)} sono diversi da zero e hanno segni opposti. Fatta salva la generalità, assumiamo che F ( e ) < 0 {\ displaystyle f (a) <0} e F ( b ) > 0 {\ displaystyle f (b)> 0} ..... e segue solo la prova di questo caso. È chiaro che, in quest'ultimo caso, è sufficiente applicare tale prova alla funzione - F {\ displaystyle -f} , che è anche continua su un dato intervallo, assume valori zero negli stessi punti e soddisfa F ( e ) < 0 {\ displaystyle f (a) <0} e F ( b ) > 0 {\ displaystyle f (b)> 0} .

Riferimento

Questo articolo utilizza materiale dall'articolo di Wikipedia in tedesco Ohne Beschränkung der Allgemeinheit.